En standardmetode er å generere tre standardnormaler og konstruere en enhetsvektor fra dem. Det vil si når $ X_i \ sim N (0,1) $ og $ \ lambda ^ 2 = X_1 ^ 2 + X_2 ^ 2 + X_3 ^ 2 $, så $ (X_1 / \ lambda, X_2 / \ lambda, X_3 / \ lambda) $ fordeles jevnt på sfæren. Denne metoden fungerer også bra for $ d $ -dimensjonale kuler.

I 3D kan du bruke avvisningssampling: tegne $ X_i $ fra en jevn $ [- 1,1] $ fordeling til lengden på $ (X_1, X_2, X_3) $ er mindre enn eller lik 1, da - akkurat som med den foregående metoden - normaliserer vektoren til enhetslengde. Det forventede antall forsøk per sfærisk punkt tilsvarer $ 2 ^ 3 / (4 \ pi / 3) $ = 1,91. I høyere dimensjoner blir det forventede antall forsøk så stort at dette raskt blir umulig.

Det er mange måter å sjekke ensartethet på . En fin måte, selv om det er noe beregningsintensivt, er med Ripleys K-funksjon. Det forventede antall poeng innenfor (3D euklidisk) avstand $ \ rho $ fra et hvilket som helst sted på sfæren er proporsjonalt med området til sfæren innen avstand $ \ rho $, som tilsvarer $ \ pi \ rho ^ 2 $. Ved å beregne alle avstandspunkter kan du sammenligne dataene til dette idealet.

Generelle prinsipper for å konstruere statistisk grafikk antyder at en god måte å sammenligne er å plotte variansstabiliserte rester $ e_i (d _ {[i] } - e_i) $ mot $ i = 1, 2, \ ldots, n (n-1) / 2 = m $ hvor $ d _ {[i]} $ er $ i ^ \ teksten {th} $ minste av gjensidige avstander og $ e_i = 2 \ sqrt {i / m} $. Tomten skal være nær null. (Denne tilnærmingen er ukonvensjonell.)

Her er et bilde av 100 uavhengige tegninger fra en ensartet sfærisk fordeling oppnådd med den første metoden:

Her er det diagnostiske plottet over avstandene:

Y-skalaen antyder at disse verdiene er nær null.

Her er akkumuleringen av 100 slike plott for å foreslå hvilke størrelsesavvik som faktisk kan være viktige indikatorer for manglende ensartethet:

(Disse plottene ser veldig mye ut som Brownian broer... det kan være noen interessante teoretiske funn som lurer her.)

Til slutt, her er det diagnostiske plottet for en sett med 100 enhetlige tilfeldige punkter pluss ytterligere 41 poeng som er jevnt fordelt på den øvre halvkule:

I forhold til den jevne fordelingen viser det en betydelig reduksjon i gjennomsnittlig avstandspunkt til en halvkule. Det i seg selv er meningsløst, men den nyttige informasjonen her er at noe er ikke-ensartet på skalaen til en halvkule. I virkeligheten oppdager dette plottet lett at den ene halvkulen har en annen tetthet enn den andre. (En enklere chi-square test ville gjort dette med mer kraft hvis du på forhånd visste hvilken halvkule du skulle teste ut av de uendelig mange mulige.)

Her er noen ganske enkle R-koder

  n <- 100000 # stor nok til meningsfulle testerz <- 2 * runif (n) - 1 # uniform på [-1, 1] theta <- 2 * pi * runif (n) - pi # uniform på [-pi, pi] x <- sin (theta) * sqrt (1-z ^ 2) # basert på angley <- cos (theta) * sqrt ( 1-z ^ 2) 

Det er veldig enkelt å se fra konstruksjonen at $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1- z ^ 2 $ og så $ x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 $, men hvis den må testes, bør

  bety (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) # være 1var (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) # skal være 0  

og lett å teste at hver av $ x $ og $ y $ er jevnt fordelt på $ [- 1,1] $ ( $ z $ er åpenbart) med

  plot.ecdf (x) # skal være ensartet på [-1, 1] plot.ecdf (y) plot.ecdf (z)  

Det er tydelig at en verdi på $ z $, $ x $ og $ y $ er jevnt fordelt rundt en sirkel med radius $ \ sqrt {1-z ^ 2} $, og dette kan testes ved å se ved fordelingen av arktangenten til deres forhold. Men siden $ z $ har samme marginale fordeling som $ x $ og som $ y $, gjelder en lignende påstand for ethvert par, og dette kan også testes.

  plot.ecdf (atan2 (x, y)) # skal være ensartet på [-pi, pi] plot.ecdf (atan2 (y, z)) plot.ecdf (atan2 (z , x))  

Hvis du fremdeles ikke er overbevist, vil de neste trinnene være å se på en vilkårlig 3D-rotasjon eller hvor mange punkter som faller innenfor en gitt solid vinkel, men det begynner å bli mer komplisert, og jeg synes er unødvendig.

Hvis du vil prøve punkter jevnt fordelt på 3D-sfæren (dvs. overflaten til en 3D-kule), bruk en enkel avvisning eller metoden til Marsaglia (Ann. Math. Statist., 43 (1972), s. . 645–646). For lave dimensjoner er avvisningsforholdet ganske lavt.

Hvis du vil generere tilfeldige punkter fra høyere dimensjonale kuler og kuler, avhenger det av formålet og skalaen til simuleringen. Hvis du ikke vil utføre store simuleringer, kan du bruke metoden til Muller (Commun. ACM, 2 (1959), s. 19–20) eller dens "ball" -versjon (se papiret fra Harman & Lacko sitert ovenfor). Det vil si:

for å få en prøve jevnt fordelt på en n-sfære (overflate) 1) generere X fra n-dimensjonal standard normalfordeling2) dele hver komponent av X med den euklidiske normen X

for å få en prøve jevnt fordelt på en n-kule (indre) 1) generere X fra (n + 2) -dimensjonal standard normalfordeling2) dele hver komponent av X med den euklidiske normen X og ta bare første n komponenter

Hvis du vil utføre store simuleringer, bør du undersøke mer spesialiserte metoder. På forespørsel kan jeg sende deg papiret fra Harman og Lacko om betingede distribusjonsmetoder, som gir klassifisering og generaliseringer av noen algoritmer som er nevnt i denne diskusjonen. Kontakten er tilgjengelig på nettstedet mitt (http://www.iam.fmph.uniba.sk/ospm/Lacko)

Hvis du vil sjekke om dine poeng virkelig er ensartede på overflaten eller interiøret av en ball, se på marginalene (alle skal være likt, på grunn av rotasjonsinvariansen er den kvadratiske normen til et projisert utvalg beta-distribuert).

Jeg hadde et lignende problem (n-sfære) i løpet av doktorgraden, og en av de lokale ekspertene foreslo prøvetaking fra en n-kube! Dette ville selvfølgelig tatt alderen til universet da jeg så på n i rekkefølgen av hunderds.

Algoritmen jeg endte med å bruke er veldig enkel og publisert i:

WP Petersen og A. Bernasconic Uniform prøvetaking fra en n-sfære: Isotropisk metode Teknisk rapport, TR-97-06, Swiss Center for Scientific Computing

Jeg har også denne artikkelen i bibliografien som jeg ikke har sett på. Du kan finne det nyttig.

Harman, R. & Lacko, V. Om dekomponeringsalgoritmer for enhetlig sampling fra $ n $ -sfærer og $ n $ -baller Journal of Multivariate Analysis, 2010

Jeg har hatt dette problemet før, og her er et alternativ jeg fant,

Når det gjelder selve fordelingen, er formelen jeg fant som fungerer anstendig å bruke polare koordinater (jeg bruker faktisk en variant av polarkoordinater som utviklet seg), konverter deretter til kartesiske koordinater.

Radien er selvfølgelig radiusen til sfæren du planlegger på. Da har du den andre verdien for vinkel på det flate planet, etterfulgt av den tredje verdien som er vinkelen over eller under dette planet.

For å få en anstendig fordeling, anta at U er et jevnt fordelt tilfeldig tall, r er radius, a er den andre polare koordinaten, og b er den tredje polare koordinaten,

a = U * 360b = U + U-1, konverter deretter til kartesisk viax = r * sin (b) sin (a) z = r sin ( b) cos (a) y = r sin (b)

Jeg fant nylig følgende som er bedre matematisk sett, a = 2 (pi) * Ub = cos ^ - 1 (2U-1)

Egentlig ikke mye forskjellig fra min opprinnelige formel, selv om min er grader mot radianer.

Denne siste versen angivelig kan ion brukes til hypersfærer, selv om det ikke ble nevnt hvordan jeg skulle oppnå det. . Faktisk, fordi kartene er laget med lua-skript, kan du bygge formelen rett inn på kartet og dermed sjekke flere samplinger uten å forlate spillet. Ikke vitenskapelig, men er en god metode for å se resultatene visuelt.

Her er pseudokoden:

1. $ v \ sim MultiVariateGaussian (\ mu, \ sigma I) $
2. $ v = \ frac {v} {\ |v \ |} $

I pytorch:

  v = MultivariateNormal (fakkelnuller (10000), fakkel øye (10000))
v = v / v.norm (2)
 

Jeg forstår ikke dette godt nok, men jeg har blitt fortalt av whuber at:

  v = fakkel. normal (fakkel. nuller (10000), fakkel. øye (10000))
v = v / v.norm (2)
 

er også riktig, dvs. prøvetaking fra en univariat normal for hver koordinat.

Min beste gjetning er å først generere et sett med jevnt fordelte punkter i et 2-dimensjonalt rom og deretter projisere disse punktene på overflaten av en sfære ved hjelp av en slags projeksjon.

Du må sannsynligvis blande og matche måten du genererer poengene på, slik du kartlegger dem. Når det gjelder generasjonen av 2D-punktgenerering, tror jeg at krypterte sekvenser med lav avvik ville være et godt sted å starte (dvs. en kryptert Sobol-sekvens) siden det vanligvis produserer punkter som ikke er "klumpet sammen". Jeg er ikke like sikker på hvilken type kartlegging jeg skal bruke, men Woflram poppet opp den gnonomiske projeksjonen... så kanskje det kunne fungere?

MATLAB har en anstendig implementering av sekvenser med lav avvik som du kan generere ved hjelp av q = sobolset (2) og scramble ved hjelp av q = scramble (q) . Det er også en kartleggingsverktøykasse i MATLAB med en rekke forskjellige projiseringsfunksjoner du kan bruke i tilfelle du ikke ønsker å kode kartleggingen og grafikken selv.