Spørsmålet ditt kan også oppgis som: " $ X $ er avhengig av $ a $ og $ b $ . Og $ a $ og $ b $ er uavhengige. Betyr dette at $ a $ og $ b $ er betinget uavhengige gitt $ X $ ? "

Svaret er nei. Vi trenger bare et moteksempel for å vise at det ikke er tilfelle. Anta at $ X = a + b $ .

Så snart vi vet $ X $ s verdi, $ a $ og $ b $ er avhengige (informasjon om den ene forteller oss hva den andre vil være). Anta for eksempel $ X = 5 $ . Så, hvis $ a = 3 $ , forteller det oss at $ b = 2 $ . På samme måte, hvis $ b = 4 $ , forteller det $ a = 1 $ .

No, det gjør det ikke: Under antagelsen om at $ a \ \ bot \ b $ , er høyre side av den siste ligningen din:

$$ p (x | a, b) \ cdot p (a) \ cdot p (b) = p (x, a, b) \ overset {a, b} {\ propto} p (a, b | x). $$

Dermed spør du effektivt om ikke:

$$ a \ \ bot \ b \ quad \ quad \ innebærer \ quad \ quad p (a | x) \ cdot p (b | x) \ propto p (a, b | x). $$

Det vil si at du spør om tidligere uavhengighet for $ a $ og $ b $ innebærer bakreuavhengigheten av disse tilfeldige variablene.Generelt sett, nei det gjør det ikke --- mange statistiske modeller involverer data $ x $ som gir informasjon om begge tidligere variabler, på en slik måte at de viser statistisk avhengighet a posteriori .