PDF-filer er høyder, men de brukes til å representere sannsynlighet ved hjelp av areal. Det hjelper derfor med å uttrykke en PDF på en måte som minner oss om at området er lik høyden ganger basen.

Opprinnelig er høyden til en hvilken som helst verdi $ x $ gitt av PDF-en $ f_X (x) $ . Basen er det uendelige segmentet $ dx $ , hvorfra distribusjonen (det vil si sannsynlighetsmålene i motsetning til fordelingsfunksjonen ) er egentlig differensialformen, eller "sannsynlighetselementet",

$$ \ operatorname {PE} _X (x) = f_X (x) \, dx. $$

Dette, i stedet for PDF, er objektet du vil jobbe med både konseptuelt og praktisk, fordi det eksplisitt inkluderer alt elementer som trengs for å uttrykke en sannsynlighet.

Når vi uttrykker $ x $ når det gjelder $ y = x ^ 2 $ , blir bunnsegmentene $ dx $ strukket (eller klemt): ved å kvadre begge ender av intervallet fra $ x $ til $ x + dx $ vi ser at basen til $ y $ -området må være et intervall med lengde

$$ dy = (x + dx) ^ 2 - x ^ 2 = 2 x \, dx + (dx) ^ 2. $$

Fordi produktet av to uendelige størrelser er ubetydelige sammenlignet med de uendelige store, vi konkluderer

$$ dy = 2 x \, dx, \ text {hvorfra} dx = \ frac {dy } {2x} = \ frac {dy} {2 \ sqrt {y}}. $$

Etter å ha etablert dette, er beregningen triviell fordi vi bare plugger inn den nye høyden og ny bredde:

$$ \ operatorname {PE} _X (x) = f_X (x) \, dx = f_X (\ sqrt {y}) \ frac {dy} {2 \ sqrt {y}} = \ operatornavn {PE} _Y (y). $$

Fordi basen, når det gjelder $ y $ , er $ dy $ , uansett hva som multipliserer den må være høyden, som vi kan lese direkte fra mellomperioden som

$$ \ frac {1} {2 \ sqrt {y}} f_X (\ sqrt {y}) = f_Y (y). $$

Denne ligningen $ \ operatorname {PE} _X (x) = \ operatorname { PE} _Y (y) $ er effektivt en bevaring av område (= sannsynlighet) lov.

Denne grafikken nøyaktig viser smale (nesten uendelige) biter av to PDF-filer relatert av $ y = x ^ 2 $ . Sannsynligheter er representert av de skyggelagte områdene. På grunn av klemme av intervallet $ [0.32, 0.45] $ via kvadrat, høyden på det røde området ( $ y $ , til venstre) må utvides proporsjonalt for å matche området i den blå regionen ( $ x $ , til høyre).

Hva om jeg produserer gjenstander som alltid er firkantede og jeg vet fordelingen av sidelengdene på rutene; hva kan jeg si om fordelingen av kvadratområdene?

Spesielt hvis jeg vet fordelingen av en tilfeldig variabel $ X $, hva kan jeg si om $ Y = X ^ {2} $ ? En ting du kan si er

$$ \ eqalign {F_ {Y} (c) & = & P (Y \ le c) \\ & = & P (X ^ {2} \ le c) \\ & = & P (- \ sqrt {c} \ le X \ le \ sqrt {c}) \\ & = & F_ {X} (\ sqrt {c}) - F_ {X} (- \ sqrt {c}). \\} $$

Så det opprettes et forhold mellom CDF på $ Y $ og CDF på $ X $; hva er forholdet mellom deres PDF-filer? Vi trenger kalkulator for det. Å ta derivatene fra begge sider gir deg resultatene du ønsket.

Tenk deg at vi har en befolkning, og $ Y $ er et sammendrag av denne befolkningen. Så teller $ P (Y \ in (y, y + \ Delta y)) $ andelen individer som har variabel $ Y $ i området $ (y, y + \ Delta y) $ . Du kan vurdere dette som en "søppelbøtte" i størrelse $ \ Delta y $ , og vi teller hvor mange personer som er inne i søpla.

La oss nå uttrykke disse personene på nytt i form av en annen variabel, $ X $ . Gitt at vi vet at $ Y $ og $ X $ er relatert til $ Y = X ^ 2 $ , hendelsen $ Y \ in (y, y + \ Delta y) $ er den samme som hendelse $ X ^ 2 \ in (x ^ 2, (x + \ Delta x) ^ 2) $ som er den samme som hendelsen $ X \ in (| x |, | x | + \ Delta x) ~ \ text {eller} ~ X \ in (- | x | - \ Delta x, - | x |) $ span >. Dermed må individene som er i søpla $ (y, y + \ Delta y) $ også være i søppelkassene $ (| x |, | x | + \ Delta x) $ og $ (- | x | - \ Delta x, - | x |) $ span >. Med andre ord må disse søpplene ha samme andel individer,

\ begin {align} P (Y \ in (y, y + \ Delta y)) & = P \ left (X \ in (| x |, | x | + \ Delta x) \ right) + P \ left (X \ in (- | x | - \ Delta x, - | x |) \ right ) \ end {align}

Ok, la oss nå komme til tettheten. Først må vi definere hva sannsynlighet tetthet er. Som navnet antyder, er det andelen individer per område . Det vil si vi teller andelen av individer på den søpla og deler med størrelsen på søpla . Siden vi har slått fast at andelene av mennesker er de samme her, men størrelsen på søpplene har endret seg, konkluderer vi med at tettheten vil være forskjellig. Men forskjellig med hvor mye?

Som vi sa er sannsynlighetstettheten andelen mennesker i søpla delt på størrelsen på søpla, og tettheten på $ Y $ er gitt av $ f_Y (y): = \ frac {P (Y \ in (y, y + \ Delta y))} {\ Delta y} $ . Analogt er sannsynlighetstettheten til $ X $ gitt av $ f_X (x): = \ frac {P (X \ i (x, x + \ Delta x))} {\ Delta x} $ .

Fra vårt forrige resultat at befolkningen i hver søppel er den samme, har vi den,

\ begin {align} f_Y (y): = \ frac {P (Y \ in (y, y + \ Delta y))} {\ Delta y} & = \ frac {P \ left (X \ in (| x |, | x | + \ Delta x) \ høyre) + P \ venstre (X \ in (- | x | - \ Delta x, - | x |) \ høyre)} {\ Delta y} \\ & = \ frac {f_X (| x |) \ Delta x + f_ {X} (- | x |) \ Delta x} {\ Delta y} \\ & = \ frac {\ Delta x} {\ Delta y} \ left (f_X (| x |) + f_ {X} (- | x |) \ right) \\ & = \ frac {\ Delta x} {\ Delta y} \ left (f_X (\ sqrt {y}) + f_ {X} (- \ sqrt {y}) \ right) \ end {align}

Det vil si at tettheten $ f_X (\ sqrt {y}) + f_ {X} (- \ sqrt {y}) $ endres med faktoren $ \ frac {\ Delta x} {\ Delta y} $ , som er den relative størrelsen på å strekke eller klemme søppelstørrelsen.I vårt tilfelle, siden $ y = x ^ 2 $ , har vi den $ y + \ Delta y = (x + \Delta x) ^ 2 = x ^ 2 + 2x \ Delta x + \ Delta x ^ 2 $ .Hvis $ \ Delta x $ er liten nok, kan vi ignorere $ \ Delta x ^ 2 $ , noe som innebærer $ \ Delta y = 2x \ Delta x $ og $ \ frac {\ Delta x} {\ Delta y} = \frac {1} {2x} = \ frac {1} {2 \ sqrt {y}} $ , og det er derfor faktoren $ \ frac {1} {2 \ sqrt {y}} $ dukker opp i transformasjonen.