Hvis du lurer på hvorfor alt dette maskineriet brukes når noe mye enklere kan være tilstrekkelig - har du rett i de vanligste situasjonene. Imidlertid ble den målteoretiske versjonen av sannsynlighet utviklet av Kolmogorov med det formål å etablere en teori om en slik generalitet at den i noen tilfeller kunne håndtere svært abstrakte og kompliserte sannsynlighetsrom. Faktisk tillot Kolmogorovs målteoretiske grunnlag for sannsynlighet i siste instans at sannsynlighetsverktøy kunne brukes langt utover det opprinnelige tiltenkte anvendelsesområdet i områder som harmonisk analyse. "$ \ sigma $ -algebra $ \ Omega $, og å ganske enkelt tildele sannsynlighetsmasser til hendelsene som inneholder prøveområdet direkte, slik du har foreslått. Faktisk gjør sannsynlighetene effektivt det samme når de velger å jobbe med "indusert mål" på prøveområdet definert av $ P \ circ X ^ {- 1} $. Imidlertid begynner ting å bli vanskelige når du begynner å komme inn i uendelige dimensjonale rom. Anta at du vil bevise den sterke loven om store tall for det spesifikke tilfellet med å vende rettferdige mynter (det vil si at andelen av hodene har en vilkårlig nærhet til 1/2 når antall myntvending går til uendelig). Du kan prøve å konstruere en $ \ sigma $ -algebra på settet med uendelige sekvenser av formen $ (H, T, H, ...) $. Men her kan vi finne at det er mye mer praktisk å ta den underliggende plassen til å være $ \ Omega = [0,1) $; og bruk deretter de binære representasjonene av reelle tall (f.eks. $ 0.10100 ... $) for å representere sekvenser av myntflips (1 er hoder, 0 er haler.) En illustrasjon av dette eksemplet finner du i de første kapitlene i Billingsleys Sannsynlighet og mål .

Problemene med $ \ sigma $ -algebras er matematiske finesser, som egentlig ikke forklarer hvorfor eller hvis vi trenger et bakgrunnsområde . Jeg vil faktisk si at det ikke er noe overbevisende bevis på at bakgrunnsrommet er en nødvendighet. For ethvert sannsynlig oppsett $ (E, \ mathbb {E}, \ mu) $ hvor $ E $ er prøveområdet, $ \ mathbb {E} $ $ \ sigma $ -algebra og $ \ mu $ et sannsynlighetsmål, interessen er i $ \ mu $, og det er ingen abstrakt grunn til at vi vil at $ \ mu $ skal være bildemål for et målbart kart $ X: (\ Omega, \ mathbb {B}) \ til (E, \ mathbb {E}) $.

Bruk av et abstrakt bakgrunnsrom gir imidlertid matematisk bekvemmelighet som gjør at mange resultater fremstår som mer naturlige og intuitive. Målet er alltid å si noe om $ \ mu $, distribusjonen av $ X $, men det kan være enklere og tydeligere uttrykt i form av $ X $.

Et eksempel er gitt ved den sentrale grense-setningen. Hvis $ X_1, \ ldots, X_n $ er i.i.d. virkelig verdsatt med gjennomsnittlig $ \ mu $ og varians $ \ sigma ^ 2 $ CLT sier at $$ P \ left (\ frac {\ sqrt {n}} {\ sigma} \ left (\ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n X_i - \ xi \ right) \ leq x \ right) \ to \ Phi (x) $$ hvor $ \ Phi $ er fordelingsfunksjonen for standard normalfordeling. Hvis fordelingen av $ X_i $ er $ \ mu $ tilsvarer det tilsvarende resultatet når det gjelder tiltaket $$ \ rho _ {\ sqrt {n} / \ sigma} \ circ \ tau _ {\ xi} \ circ \ rho_ {1 / n} (\ mu ^ {* n}) ((- \ infty, x]) \ to \ Phi (x) $$ Noe forklaring på terminologien er nødvendig. Med $ \ mu ^ {* n} $ mener vi $ n $ - ganger konvolusjon av $ \ mu $ (fordelingen av summen). Funksjonene $ \ rho_c $ er de lineære funksjonene $ \ rho_c (x) = cx $ og $ \ tau _ {\ xi} $ er oversettelsen $ \ tau _ {\ xi} (x) = x - \ xi $. Man kan sannsynligvis bli vant til den andre formuleringen, men den gjør en god jobb med å skjule det det handler om.

Det som ser ut til å være problemet er at aritmetiske transformasjoner involvert i CLT er ganske tydelig uttrykt i form av tilfeldige variabler, men de oversettes ikke så godt når det gjelder tiltakene.

Jeg snublet nylig over denne nye måten å tenke på den tilfeldige variabelen $ X $ så vel som på bakgrunnsområdet $ \ Omega $. Jeg er ikke sikker på om dette er spørsmålet du lette etter, da det ikke er en matematisk grunn, men jeg synes det gir en veldig fin måte å tenke på bobiler.

Se for deg en situasjon der vi kaster en mynt. Dette eksperimentelle oppsettet består av et sett med mulige innledende forhold som inkluderer den fysiske beskrivelsen av hvordan mynten kastes. Bakgrunnsrommet består av alle de mulige innledende forholdene. For enkelhets skyld kan vi anta at myntekastene bare varierer i hastighet, da vil vi sette $ \ Omega = [0, v_ {max}] $

Den tilfeldige variabelen $ X $ kan da betraktes som en funksjon som kartlegger hver starttilstand $ \ omega \ i \ Omega $ med det tilsvarende resultatet av eksperimentet, dvs. om det er haler eller hode.

For bobilen: $ X: ([0, v_ {max}], B \ cap [0, v_ {max}], Q) \ to (\ {0,1 \}, 2 ^ {\ { 0,1 \}}) $ tiltaket $ Q $ vil da tilsvare sannsynlighetsmålene over de innledende forholdene, som sammen med dynamikken i eksperimentet representert ved $ X $ bestemmer sannsynlighetsfordelingen over resultatene.

For referanse til denne ideen kan du se på kapitlene til Tim Maudlin eller Micheal Strevens i "Probabilties in Physics" (2011)